拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，就成为一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。
莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。
比如在普通空间无法实现的“手套易位“问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。
在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。
用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。
莫比乌斯对克莱因说：“咱们谈完了莫比乌斯带和克莱因瓶。咱们要看看推广到高维的三维的东西。”
克莱因说：“克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维度再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。”
莫比乌斯说：“莫比乌斯带这个平面东西在三维中才会有全部形状，克莱因瓶在四维中才能看出那种连续扭曲的变化。那二维的带子或者平面在五维空间会形成一种怎样的不分内外的结构？”
克莱因说：“这是个有趣的问题，很难想象，我们要不要放弃研究？”
莫比乌斯说：“不但不放弃研究，而且要找到一种固定的东西来研究，比如左右变化的对称性这种东西，莫比乌斯带可以从左边连续变化到右面，而克莱因瓶可以从外面连续变化到里面。那么更高维的变化会比左右和内外更加深刻，取个名字就深内和深外，这种就是深内会变化为深外。”
克莱因说：“你说的具体是什么东西，什么状态叫深内，是多个东西的内部就深内吗？多个东西的外部叫深外？经过二维面在五维空间中的变换，多个内部的东西会被翻转成多个外部的？你想说的深刻的推广，就是这样的推广吗？”
莫比乌斯说：“多个东西的内部叫深刻的内部？除此以外就没有其他深刻的内部了？或者是深刻的左右了吗？”莫比乌斯在想俄罗斯套娃这种类型的算不算是更深的深处，同时如何将这种深处反演出来。或者是连续的有厚度的密度不同的带梯度的深处，是否也可以反演翻出来。
克莱因说：“依你这么说，是不是我们需要在现实世界中留意一下，哪里的乾坤是具备可以相互颠倒的性质的是吗？”
莫比乌斯说：“是的，知道的话，就引入到二五这个模型中。”
克莱因说：“或许是三维，是三维空间的五维翻转还会回到自己自身来。”
莫比乌斯说：“我们或许能发现这个东西，并且能够用很多特定的性质来规范它，只是在脑海中去想象就很困难了，我们只能想象到局部。”
喜欢数学心请大家收藏：(m.bokandushu.com)数学心博看读书更新速度全网最快。