第一陈类等于零的二维复流形是有名的K3曲面，托尔罗夫（todorov）用calabi-Yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用calabi-Yau度量证明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。
而高维数的第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。
这些都是复几何与代数几何中着名的猜想，在卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。
最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。
这个发现引发了物理学的一场革命。
物理学家们兴奋地把这类流形称为calabi-Yau空间，Yau便是丘成桐的英文姓氏。
有兴趣的朋友如果在Google中输入calabi-Yau，就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为calabi是丘成桐的名字。正如威滕（witten）所言，在这场物理学的革命中，每一个有重要贡献的人都会名扬千古。
复二维（或实四维）的“K3曲面”的第一陈氏类等于零（第6章会进一步讨论K3曲面）。根据卡拉比猜想，这表示K3曲面就像环面一样，可以支持黎奇平坦度规。但是和欧拉示性数为零的二维环面不同，K3曲面的欧拉示性数是24。这里的重点是，虽然在复一维时，欧拉示性数等于第一陈氏类，但在较高维度时，两者间可能有极大差异。
很显然，弦论需要的是更复杂的几何形体，在葛林与史瓦兹成功化解宇称破坏的问题之后，寻找这个几何空间就变成当务之急。因为只要找到卷曲额外六维的适当流形，物理学家就可以放手做一些真正的物理学了。最初的尝试也是在1984年，葛林、史瓦兹，以及伦敦国王学院的魏斯特（peter west）决定检视“K3曲面”，这是数学家已经研究超过一世纪的一大类复流形，更何况我证明的卡拉比猜想，显示这些曲面上存在黎奇曲率为零的度规，因此K3曲面当时更吸引物理学家的注意。史瓦兹回忆说：“我理解的是，为了确定我们居住的较低维空间不具有正宇宙常数，这个紧致空间必须是黎奇平坦的，这是当时大家认定的宇宙事实。”（后来由于暗能量的发现，意味着宇宙常数是一个非常小但却是正值的数，弦论学者设计了一个比较复杂的方法，从紧致黎奇平坦空间，推导出我们四维世界的微小宇宙常数，这是第10章讨论的主题。）
K3曲面的名称既暗示它犹如世界第二高峰K2峰那么崇高，又表示三位探讨这个空间的数学家：库默（Ernst Kummer）、前面提到的凯勒以及小平邦彦（Kunihiko Kodaira）。不过K3曲面只是实四维（复二维）的流形，和弦论需要的六维不合，葛林、史瓦兹、魏斯特之所以选择K3曲面作为初始的研究目标，部分原因是有位同事告诉他们，已经没有更高维的类似流形了。尽管如此，葛林说：“我自己绝不认为我们可以厘清这个问题……即使我们当时能得知正确的讯息（即存在类似黎奇平坦K3的六维流形）也一样。”史瓦兹补充说，拿已被研究透彻的K3曲面做尝试，“并不是真的是要进行紧致化，我们只是试试玩玩，看看能得到什么，看它和反常消除能怎么结合”。从此以后，K3曲面一直是弦论学者重要又常用的紧致化“玩具模型”
K3曲面也是探讨弦论对偶理论的基本模型.
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